黄昏通信社跡地処分推進室

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補遺

出題方法

上ではわりと当たり前のように「全ての選択肢の中から4つ選んで出題する」という方法を採っていると仮定しているが、実際のゲーム中での出題についてどうなっているかは知りようがない。違う選び方をしている可能性も当然あるだろう。

アタリ0個の場合について

QMA4 では一問多答において「ひとつも選ばずに正解」という出題はないが、上では敢えて残した。ひとつはこの確率計算が基本的にアタリとハズレに関して対称だからで、アタリとハズレの数値が入れ替わった場合は単に表の上下を逆にすればいい。もうひとつ、実際のゲームで0個の場合を排除しているアルゴリズムがわからないから、というのもある。一番めんどくさくないのは適当に選んで0個になったら選び直す、というものだが、それだとすると大雑把に言えば分母が小さくなるだけなので、1個〜4個の相対的な比率は変わらず、若干確率だけが大きくなる。

証明

上ではマラリヤが投げっぱなしにしている証明をつけておく。TeX で書きたいんだけど TeX 記法と Safari が相性悪くてぐんにょりだったり。
1個押しの時勘で押して正解になる確率を P1、2個押しの時勘で押して正解になる確率を P2、以下同様に3個押し、4個押しの場合を P3、P4 とおく。

T=F の時、2個押しが一番確率が高い。

T=F=k とおくと
\LARGE P_{\large 2} =\frac {_k C_2 \cdot _k C_2}{_{2k} C_4} \cdot \frac{1}{6} \\ = \frac {k(k-1) \cdot k(k-1)}{2 \, \cdot \,1 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{2k} C_4} \cdot \frac{1}{6} \\ = \frac {k^2 (k-1)^2}{_{2k} C_4 \cdot 24}
\LARGE P_{\large 3} =\frac {_k C_3 \cdot _k C_1}{_{2k} C_4} \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2) \cdot k}{3 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{2k} C_4} \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac {k^2 (k-1)(k-2)}{_{2k} C_4 \cdot 24}
分母は同じなので分子を比較するが、k>=2 なので
\LARGE {k^2 (k-1)^2} \, \gt \,{k^2 (k-1)(k-2)}
ゆえに P2>P3 。
P1 = P3 なので P1 については略。
次に P4 。
\LARGE P_{\large 4} =\frac {_k C_4 \cdot _k C_0}{_{2k} C_4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2)(k-3) \cdot 1}{4 \, \cdot \,3 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{2k} C_4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2)(k-3)}{_{2k} C_4 \cdot 24}
分母は同じなので分子を比較するが、k>=3 の時は
\LARGE {k^2 (k-1)^2} \, \gt \,{k(k-1)(k-2)(k-3)}
となり、k<4 であればそもそも P4=0 。
ゆえに P2>P4 。

T=F+1 の時、2個押しと3個押しが同率になる。

T=k とおくと
\LARGE P_{\large 2} =\frac {_k C_2 \cdot _{(k-1)} C_2}{_{(2k-1)} C_4} \cdot \frac{1}{6} \\ = \frac {k(k-1) \cdot (k-1)(k-2)}{2 \, \cdot \,1 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{(2k-1)} C_4} \cdot \frac{1}{6} \\ = \frac {k(k-1)^2(k-2)}{_{(2k-1)} C_4 \cdot 24}
\LARGE P_{\large 3} =\frac {_k C_3 \cdot _{(k-1)} C_1}{_{(2k-1)} C_4} \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2) \cdot (k-1)}{3 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{(2k-1)} C_4} \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac {k(k-1)^2(k-2)}{_{(2k-1)} C_4 \cdot 24}
ゆえに P2=P3 。

T=F+3 の時、3個押しと4個押しが同率になる。

\LARGE P_{\large 3} =\frac {_k C_3 \cdot _{(k-3)} C_1}{_{(2k-3)} C_4} \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2) \cdot (k-3)}{3 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{(2k-3)} C_4} \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2)(k-3)}{_{(2k-3)} C_4 \cdot 24}
\LARGE P_{\large 4} =\frac {_k C_4 \cdot _{(k-3)} C_0}{_{(2k-3)} C_4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2)(k-3) \cdot 1}{4 \, \cdot \,3 \, \cdot \,2 \, \cdot \,1} \cdot \frac{1}{_{(2k-3)} C_4} \\ = \frac {k(k-1)(k-2)(k-3)}{_{(2k-3)} C_4 \cdot 24}
ゆえに P3=P4 。

T>F+3 の時、4個押しが他の全てより率が高くなる。

くたびれたので略。
綺麗に等しいところに辿り着く変形は楽しく美しいので、興味のある人はやってみよう。

ヤンヤン

登場シーンを書いてないので、内的にはまだ居ないことになってたり。
確率の話になると俄然いきいきしたりしそうで楽しそうなのだけど、いかんせん登場していないのでは。

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普通に忘れてた。